Новости науки

[Макс ВА]

Оказывается я уже вчера тут был
Щас подумал, может они что с магнитными полюсами попутали, но и это невозможно.
Полюса Южный и Северный находятся на оси вращения. При вращении против часовой стрелки вектор угловой скорости направлен вверх.
Чтобы полюса поменялись, надо чтобы Солнце стало вращаться в обратную сторону .

а эффект Джанибекова учли???

[Михаил Певунов]

а эффект Джанибекова учли???

Да не похоже Солнце на лопоухую гайку Джанибекова.
Солнце это жидкий шар, а на жидкий шар законы механики для жестких тел не распространяются. Не может жидкий шар работать как гироскоп.  Ость вращения такого шара относительно звезд вполне может вращаться.
 Да и просто шар имеет три степени свободы, то есть двигаясь поступательно, может  вращаться одновременно по трем осям. Так что я, похоже с первых постах,  погорячился.
Земля имеет жесткую оболочку в форме эллипсоида, потому стремится вращаться относительно оси максимального момента инерции, как гироскоп -  оси полюсов, что не исключает возможной прецессии.
Хотя Земля может лечь на бок и вращаться относительно минимального момента инерции, как гайка Джанибекова, после кувырка.

[Макс ВА]

Да не похоже Солнце на лопоухую гайку Джанибекова.
Солнце это жидкий шар, а на жидкий шар законы механики для жестких тел не распространяются. Не может жидкий шар работать как гироскоп.  Ость вращения такого шара относительно звезд вполне может вращаться.
 Да и просто шар имеет три степени свободы, то есть двигаясь поступательно, может  вращаться одновременно по трем осям. Так что я, похоже с первых постах,  погорячился.
Земля имеет жесткую оболочку в форме эллипсоида, потому стремится вращаться относительно оси максимального момента инерции, как гироскоп -  оси полюсов, что не исключает возможной прецессии.
Хотя Земля может лечь на бок и вращаться относительно минимального момента инерции, как гайка Джанибекова, после кувырка.

именно!!!
Земля - как "твердое" тело - может...

[Mathem]

                              Mathem (jakov)

КУБАТУРНАЯ ФОРМУЛА 9-й СТЕПЕНИ алгебраической точности
с 20-ю узлами для квадрата:   [ -1 ≤ x ≤ 1;  -1 ≤ y ≤ 1].

   Получил её в июле 2011 года. Пришлось проделать много занудной технической работы. Однако вознаграждён за неё созерцанием удививших меня «чудес».
   До сих пор известна была (из справочников) аналогичная формула максимум 7-й степени точности (с 12-ю узлами), являющаяся наилучшей (по числу узлов). Эта новая формула – тоже «наилучшая».

   Начинаю с  ОТВЕТА    (параметров этой формулы):

u   =  0,48892 68569 74369      А = 0,45416 39606 86749
v1 =  0,69088 05504 86348    B1 = 0,21420 03609 26862
v2 =  0,93965 52580 96846    B2 = 0,04273 12318 65773
wx = 0,91862 04410 56722     C  = 0,14445 22232 60307
wy = 0,34487 20253 64404

   Вычисления велись на 16-значном калькуляторе. Погрешности  (± 1  или чуть больше)  возможны лишь в последних знаках после запятой.

   Первая строка означает, что при численном интегрировании по нашему квадрату функции f(x,y) следует сложить взятые с коэффициентом А величины f(u,0), f(0,u), f(-u,0) и f(0,-u).
   Вторая и третья строки, - что надо продолжать складывать с коэффициентом В величины f(v,v), f(-v,v),
f(-v,-v) и f(v,-v). Здесь будет две такие группы.
   Четвёртая и пятая строки, -  что надо складывать с коэффициентом С восемь величин: f(wx,wy), f(wy,wx), f(-wx,wy), f(-wy,wx), f(-wx,-wy), f(-wy,-wx), f(wx,-wy) и f(wy,-wx).

   Формула точна (если игнорировать погрешности в последних знаках) для всех многочленов до 9-й степени включительно.
   Формула прошла тест-контроль при интегрировании одночленов:
1,      x^2,     x^4,     x^2 y^2,     x^6,      x^4 y^2,     x^8,     x^6 y^2,     x^4 y^4.
При этом отклонения от истинных теоретических значений интегралов наблюдались лишь в последнем (15-м) знаке после запятой. Симметричное расположение узлов кубатуры гарантирует аналогичные результаты при замене в этих одночленах  x на y и наоборот. Кроме того, оно гарантирует равенство нулю численного значения интеграла от любого одночлена, содержащего хотя бы одно из переменных в нечётной степени, в частности, любого одночлена нечётной степени. Для выходящих за задуманный диапазон одночленов x^10,   x^8 y^2   и   x^6 y^4   ошибки составили соответственно   -0,74%,  -0,17%  и  +3,7%.

  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -

  А теперь хочу поделиться с неленивым (математически) читателем поразившими меня «чудесами». Для этого изложу (конспективно) вывод этой формулы.

   Задача сводится к составлению и решению следующей системы девяти алгебраических уравнений с 9-ю неизвестными:

4 а1             +   4 а2               +   4 а3                +   8 а4                                                 = 4
2 а1  x1^2   +   4 a2   x2^2    +   4 a3   x3^2    +   4 a4   (x4^2+y4^2)                         = 4/3
2 a1  x1^4   +   4 a2   x2^4    +   4 a3   x3^4    +   4 a4   (x4^4+y4^4)                         = 4/5
                         4 a2   x2^4    +    4 a3   x3^4    +   8 a4   (x4^2 y4^2)                          = 4/9
2 a1  x1^6   +   4 a2   x2^6    +   4 a3    x3^6   +   4 a4   (x4^6+y4^6)                         = 4/7
                         4 a2   x2^6    +   4 a3    x3^6    +   4 a4   (x4^4 y4^2+x4^2 y4^4)      = 4/15
2 a1  x1^8   +   4 a2   x2^8    +   4 a3    x3^8    +   4 a4   (x4^8+y4^8)                        = 4/9
                         4 a2   x2^8    +    4 a3   x3^8    +   4 a4   (x4^6 y4^2+x4^2 y4^6)      = 4/21
                         4 a2   x2^8    +    4 a3   x3^8    +   8 a4   (x4^4 y4^4)                          = 4/25

   Избыток чётных коэффициентов связан здесь с самостраховкой:  нет ли ошибок при составлении самой системы?

Здесь х1 – координата узла, расположенного на положительной части оси «х».
          а1 – соответствующий этому узлу весовой коэффициент (используемые здесь                         
                                                    обозначения отличаются от обозначений в ОТВЕТЕ).
          х2 и х3 – координаты узлов  на главной диагонали: (х2,х2) и (х3,х3):  0 < x2 < x3.
          а2 и а3 - их  весовые коэффициенты.
          х4 и у4 – координаты узла (х4,у4);   х4 > y4 > 0.
          а4 – его весовой коэффициент.

   Как видим, задача похожа на школьную (для старших классов). Однако сомневаюсь, что найдётся школьник, у которого хватит терпения довести её до конца…

   Введём для сокращения писанины обозначения:

x1^2 = p                         2 a1 = u
x2^2 = q                         2 a2 = v
x3^2 = r    (r > q)            2 a3 = w                                 (0)
x4^2 = s                          2 a4 = x
y4^2 = t    (s > t)

   Подставив это в систему и произведя естественные упрощающие вычитания уравнений, найдём, что из 8-го уравнения можно выразить величину

x = 8/(525st(s-t)^2).                                                 (1)

Если подставить это в остальные уравнения и  изменить их порядок, получим систему из 8-ми уравнений с 8-ю неизвестными:

                2vq^4  +  2wr^4  +                 32st/(525(s-t)^2)    =   4/25
                2vq^3  +  2wr^3  +            16(s+t)/(525(s-t)^2)    =   4/15
                2vq^2  +  2wr^2  +                    32/(525(s-t)^2)   =    4/9
    up    +  2vq      +  2wr       +         16(s+t)/(525st(s-t)^2)   =    4/3
  2u      +  2v        +  2w        +                 32/(525st(s-t)^2)   =    4

    up^2                                +                  16/(525st)             =   16/45
    up^3                                +          16(s+t)/(525st)             =   32/105
    up^4                                +      16(s+t)^2/(525st)             =   64/225

   Последние три уравнения содержат 4 неизвестных. В результате не очень простого (но и не чрезмерно сложного!) анализа нужные нам комбинации можно выразить через величину p:
.
u = 256/(315p^2 (35p^2-60p+28))       
s+t = (2/5) (15p – 14)/(7p – 6)                                                       (2)
st = (3/25) (35p^2 – 60p +28)/ (7p-6)^2                    Равенства эти  легко проверяются
(s-t)^2 = (32/25) (15p^2 – 30p + 14)/ (7p-6)^2        подстановкой в эти 3 уравнения.

   Подставляя эти выражения в первые пять уравнений и перенося члены, содержащие величину p, в правые части, получим в результате весьма утомительных выкладок систему 5-ти уравнений с 5-ю неизвестными:

vq^4 +  wr^4 = A       
vq^3 +  wr^3 = B                              (3)
vq^2 +  wr^2 = C       
vq     +   wr     = D
v       +   w      = E,        где правые части приведены к общему знаменателю:
                                       
                                        630p^2 (15p^2-30p+14)  (35p^2-60p+28) ,

а числитель А =  (693p^2 – 1440p + 655,2) (35p^2 – 60p + 28)p^2
- - - - - - - B =      (945p^2 – 1956p + 924) (35p^2 – 60p + 28)p^2
- - - - - C =     (1365p^2 – 2940p + 1420) (35p^2 – 60p + 28)p^2
- - - D =  (91875p^5 – 368200p^4 + 546000p^3 – 363840p^2 + 96720p – 3584)p
- E =   361375p^6 –1428000p^5 +2091600p^4 –1360800p^3 +324240p^2 +15360p –7168


   Кто-нибудь чувствует «родство» между этими 5-ю многочленами? Я во всяком случае – первоначально не чувствовал… К тому же числители D и E получились каждый в результате приведения к общему знаменателю и сложения трёх дробей с разными знаменателями. «Чудом» оказалось то, что оба они делятся на (35p^2 – 60p + 28). Как это было обнаружено? Случайно  заметил, что 91875 и 361375 делятся на 35, а 3584 и 7168 – на 28. Возникло непреодолимое желание произвести соответствующие деления «в столбик». И всё разделилось!.. Итак, предыдущие строки можно заменить такими:

                                         где правые части приведены к общему знаменателю:

                                         630p^2(15p^2 – 30p + 14)

а числитель А =  (693p^2 – 1440p + 655,2)p^2
- - - - - - - B =      (945p^2 – 1956p + 924)p^2
- - - - - C =     (1365p^2 – 2940p + 1420)p^2
- - - D =    (2625p^2 – 6020p^2 + 3180p – 128)p
- E =    10325p^4 –23100p^3 +11900p^2 –256


   ЗАМЕЧАНИЕ о проведении «утомительных» выкладок. При плохой организации работы их практически невозможно осуществить, так как шагов много, а вероятность ошибок на каждом шаге довольно велика. Причём в основном «дурацких» ошибок: перепутать цифру или знак (плюс-минус), пропустить символ, написать его два раза, выбрать число из «чужой» позиции… Бывают (реже) и более серьёзные ошибки, связанные со сбоем в понимании своей «теории».
   Пример. Если вероятность ошибки на каждом шаге равна 0,01, то вероятность НЕ
ошибиться за 100 шагов равна (1-0,01)^100=1/e  = 0,368, за 200 шагов   1/e^2  = 0,135, а за 300 шагов  1/e^3  = 0,05…

   Подобно альпинистским восхождениям здесь не обойтись без страховки. Моя страховка состояла в следующем. Каждый ЭТАП вычислений состоит из серии элементарных шагов. Сделав один шаг, СРАЗУ делал его повторно и сравнивал результаты. Завершив этап, производил его численную проверку: придавал переменным конкретные числовые значения и сравнивал числовые значения преобразуемых выражений в начале этапа и в его конце. Иногда использовал более одного варианта придаваемых значений.  Этот тест-контроль хотя и не является доказательством безошибочности выкладок, но значительно повышает уверенность и смелость  продолжать работу. При этом объём труда возрастает всего примерно в 3 раза по сравнению с бесконтрольной работой, которую, как я сказал выше, практически невозможно завершить без ошибки.

   ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ.
   
В систему (3) неизвестные v и w  входят линейно. Выразим v по «правилу Крамера» cперва из 1-го и 2-го, а затем из 2-го и 3-го уравнений. Получим два разных выражения, приравняв которые, получим после упрощений первую строку такой системы:

Сqr – B(q+r) + A  = 0
Dqr – C(q+r) + B  = 0                            (4)
Eqr – D(q+r) + C  = 0

Вторая строка получается аналогично из 2-го и 3-го, а затем 3-го и 4-го уравнений.
Третья - - - - - - - - - - - - - - -  - - - - - - - - -  3-го и 4-го,  - - - - -  4-го и 5-го  - - - - - - -

   Система (4) выглядит как однородная система линейных уравнений относительно неизвестных:  qr, (q+r) и z,    ИМЕЮЩАЯ ЗАВЕДОМО  ненулевое решение:  (qr, (q+r), 1).
А это возможно лишь тогда, когда определитель такой системы равен нулю. Итак,  НЕОБХОДИМЫМ  условием разрешимости системы (4) является равенство:

C^3 + B^2 E + D^2 A – ACE – 2BCD  = 0         

   Это – уравнение для нахождения величины p. Дальнейшие ещё более утомительные выкладки приводят к тому, что оно эквивалентно такому:

(155p^2-150p+27)/(p^2 (15p^2-30p+14))    =   0          (5)

То есть задача свелась к решению квадратного уравнения!

   В ходе этих выкладок было обнаружено (примерно аналогичным способом) ещё более удивительное «чудо»: делимость некоторого промежуточного многочлена 6-й степени на (15p^2-30p+14)^2 ,  что и привело к квадратному уравнению.

   Решая (5) получим для p два значения:

p1 = (75-12√10)/155    =  0,23904 94714 708352…
p2 = (75+12√10)/155   =  0,72869 24640 130354…

Отсюда в частности видно, как получить параметры нашей кубатурной формулы с произвольным числом знаков: надо точнее вычислить   √10    и все последующие квадратные корни (кроме этого будут использоваться лишь “четыре арифметических действия»).
   Дальнейший план простой. Надо для  p1 и p2 вычислить A, B, C, D и E. Затем решить систему (4). При этом обнаружится, что условие равенства нулю рассмотренного определителя не только необходимо, но и достаточно  (окажется, что  z  не равно нулю!)  для её разрешимости.     Однако величину p2 придётся отвергнуть, т.к. при этом будет   qr < 0. Затем, зная  qr и q+r. найдём сами   q  и  r  (q < r). Потом из системы (3) по «правилу Крамера»  найдём   v и  w.
Затем из соотношений (2) найдём   u,  st  и  s+t. Потом найдём  s  и  t  и, наконец, из соотношения (1) получим  x. Осталось из соотношений (0) вычислить нужные узлы и весовые коэффициенты.

[Кот Учёный]

                              Mathem (jakov)
КУБАТУРНАЯ ФОРМУЛА 9-й СТЕПЕНИ алгебраической точности
с 20-ю узлами для квадрата:   [ -1 ≤ x ≤ 1;  -1 ≤ y ≤ 1].

Потрясающе!

[Макс ВА]

есть ли жизнь... современным ученным енто неизвестно - чо тама до их родофф писано.

фсе понятно - тупые предки...

[Mathem]

 
                                       Mathem (jakov)

          ОБОБЩЕНИЕ «метода Ньютона» численного решения уравнений

   В своё время Исаак Ньютон предложил такой итеративный подход к решению уравнения     f(x)=0:
                                    x1 = x0 - f(x0)/f`(x0) ,
                                    x2 = x1 - f(x1)/f`(x1)   и т.д.
Если начальная точка     x0     выбрана удачно, этот подход оказывается необычайно эффективным. 
    Например, вычисление   √a  соответствует решению уравнения   (f(x)=)  x^2-a=0.   Если расписать для этого уравнения вышеприведенные формулы, получим
                                    x1 = 0,5(x0+a/x0) ,
                                    x2 = 0,5(x1+a/x1)  . . .
Именно этот алгоритм «зашит» в программы всех калькуляторов и компьютеров.  И этот алгоритм обладает удивительным свойством:  если начальная точка содержит ДВЕ первые ВЕРНЫЕ значащие цифры, то каждая итерация  УДВАИВАЕТ  количество верных цифр.
Например, если для вычисления  √2= 1,41421356237…  взять  x0=1,4 , то на десятой итерации мы получим более   1000   верных знаков!

   На одном из форумов встретилось мне замечание одного из участников:
«Если бы был алгоритм, пусть ограниченный, прямого решения систем нелинейных уравнений, тогда это серьезно…»

   Цитирую свой ответ:
«Могу предложить такой подход (уверен, что его кто-нибудь уже предлагал!):
Пусть
X - это вектор-СТОЛБЕЦ (x1, x2, ..., xn)
F(X) - столбец значений n различных функций в "точке" X.
D(X) - матрица частных производных этих функций  (столбец строк-"градиентов").
Dо(X) - обратная матрица.

Тогда систему F(X)=0 "решает" итерационный процесс: X1 = X0 - Dо(X0)*F(X0) ,
                                                                                             X2 = X1 - Do(X1)*F(X1) . . .
Это - обобщение знаменитого "метода Ньютона" решения уравнений. И похоже, этот процесс будет так же фантастически быстро сходиться, если начальная точка оказалась в "зоне притяжения корня".
Метод этот будет хорош, если у вас под рукой имеются удобные инструменты умножения и обращения матриц. У меня таким инструментом была вычислительная система Excel-2010.

             ПРИМЕР. Система

         exp(x^2) + xy + xz = A
         yx + exp(y^2) + yz = B
         zx + zy + exp(z^2) = C

решалась с начальной точкой (x, y, z) = (1, 1, 1) и с различными А, В, С.
   Некоторые результаты представлены в таблице. В нижней строке указаны номера итераций, на которых достигнуты указанные значения (x, y, z). Сами значения округлены (Excel-2010 ведёт свои расчёты примерно с 15 значащими разрядами.). Четыре средние колонки описывают варианты, когда «невязки» (разности между левыми и правыми частями всех уравнений) обратились в чистый машинный нуль (результаты просто блестящие!). В первом варианте процесс вышел на режим «уполовинивания» расстояния до точки  x=y=z=0 (вырожденный случай?).. В последнем варианте на 6-й итерации стала ясна расходимость процесса(нет решений?).

А          1                    1                    1                   0,9                10                -0,1
В          1                    2                    3                   1,2                13                  2
С          1                    3                    5                   1,2                16                  2
x      3,943E-08     4,075E-17     -3,74E-17      -0,189625     1,335085     -3,082765
y      3,943E-08     0,6003001      0,836647      0,360216     1,471996       1,287405
z      3,943E-08     0,9431186      1,178862      0,360216     1,565705       1,287405
i           25                    6                   6                    8                   9                   6

   Конечно, исследовать системы нелинейных уравнений – задача очень трудная из-за непонятности топологии поверхностей уровня. Но в качестве рабочего инструмента этот подход можно рекомендовать.»

[Кот Учёный]

Мафем... а вы слышали когда нибудь что такое Simplex Algorithm?

 

[Mathem]

Нет. Слышал только (с похожим названием) про "Симплекс-метод"...

[Кот Учёный]

Нет. Слышал только (с похожим названием) про "Симплекс-метод"...

Да наверное "метод"....  быстрое решение для систем с огромным количеством переменных. Можно использовать скажем если требуется разложить произвольную функцию на сумму огромного числа гармонических функций... или что-то...

Я слышал,  что это теоретически самый быстрый способ для компьютера сделать такую операцию... то есть численно произвести преобразование Фурье иои что-то в этом роде. Я прав?

[Mathem]

Да наверное "метод"....  быстрое решение для систем с огромным количеством переменных. Можно использовать скажем если требуется разложить произвольную функцию на сумму огромного числа гармонических функций... или что-то...

Я слышал,  что это теоретически самый быстрый способ для компьютера сделать такую операцию... то есть численно произвести преобразование Фурье иои что-то в этом роде. Я прав?

Идём направо - песнь заводим.
Налево - сказку говорим...

   Симплекс-методом называют в литературе универсальный способ решения задач так называемого "линейного программирования", то есть поиска максимума (или минимума) линейной функции  f(X)=C1*x1+C2*x2+...+Cn*xn  от  n  неотрицательных переменных  при наличии   m (m<n) линейных ограничений типа  A1*x1+A2*x2+...+An*xn <(=) A.
   Его приходится "сдавать" всем студентам экономических специальностей. Почему экономических? А потому, что экономистам приходится на своих рабочих местах чаще всего вычислять такие (ЛИНЕЙНЫЕ) выражения. Хотя процессы, идущие в экономике, по сути своей глубоко не линейны. Однако, если вы решаете какую-нибудь узкую экономическую задачу, её нелинейностью пренебегают, да и не знают обычно, как её учесть. Такова например так называемая "транспортная задача" (планирование "логистики" перевозок в компании, например в компании "Грузовичкофф").
   Транспортная задача - это тоже задача линейного программирования, но специфическая. Её тоже можно решить симплекс-методом, но для неё разработаны и более эффективные способы.
   Насчёт "быстрого преобразования Фурье" ничего пока сказать не могу, так как "не проходил" (руки пока не дошли).

[Кот Учёный]

   Симплекс-методом называют в литературе универсальный способ решения задач так называемого "линейного программирования", то есть поиска максимума (или минимума) линейной функции  f(X)=C1*x1+C2*x2+...+Cn*xn  от  n  неотрицательных переменных  при наличии   m (m<n) линейных ограничений типа  A1*x1+A2*x2+...+An*xn <(=) A.

Предположим необходимо найти наилучшее приближение ПРОИЗВОЛЬНОЙ функции f(x):

f(x) = a₁sin(b₁x +c₁) + a₂sin(b₂x +c₂) + ...

Для этого методом итераций находится минимум для разности оригинаььной функции f(x)  и её приближения через разложение в ряд.

Экономических... поскольку как раз в экономике встречаются задачи с огромным количеством параметров которые требуется вариировать для оптимального приближения.

Например на значение стоимости акций компании может влиять огромное количество факторов и требуется найти оптимальные значения этих факторов.

Правильно или я что-то опустил?

[Кот Учёный]

Вы слышали что-нибудь о задачах по тематике "обращения волнового фронта"?

[Mathem]

Предположим необходимо найти наилучшее приближение ПРОИЗВОЛЬНОЙ функции f(x):

f(x) = a₁sin(b₁x +c₁) + a₂sin(b₂x +c₂) + ...

   Ваша ПРОИЗВОЛЬНАЯ функция выглядит очень даже не произвольной!

   Излагаю здесь то, что по данной теме "каждый" должен знать в первую очередь. Это "метод наименьших квадратов", придуманный Гауссом (носившим в 19 веке неофициальный титул "Короля математиков"). Кстати, сам Гаусс по происхождению был из "низов" (был сыном водопроводчика).
   Пусть мы хотим приблизить некоторую функцию  F(X)  выражением вида   a1*f1(X)+a2*f2(X)+...+an*fn(X), где  f1, f2,...,fn - заранее выбранные функции; аргумент  X  может быть и многомерным:  X=(x1, x2, ...). 
Надо подобрать нужные коэффициенты  а1, а2, ..., аn.
Как? Во-первых, нужна какая-то информация о самой функции  F(X). Пусть это будут её значения в  N точках:  F(X1), F(X2), ..., F(XN).
   Выпишем для первой точки "отклонение"   F(X1) - a1*f1(X1)-a2*f2(X1)-...-an*fn(X1).
Если выписать такие выражения для всех  N   точек, а затем возвести их в квадрат и сложить, получим некоторую функцию
Q(a1, a2, ... , an),  которую можно понимать как глобальную "меру отклонения"  на всём множестве взятых  N  точек. И мы выбираем коэффициенты  ai  так, чтобы сделать её минимальной. Для этого вычисляем и приравниваем нулю все  n  частных производных этой функции. В результате получаем систему линейных уравнений с симметрической матрицей:

   f1f1   f1f2  . . .  f1fn   :   f1F              Здесь   f1f1 - символическая запись для    f1(X1)*f1(X1)+f1(X2)*f1(X2) + . . . + f1(XN)*f1(XN)
   f2f1   f2f2  . . .  f2fn   :   f2F                          f1f2                                                  f1(X1)*f2(X1)+f1(X2)*f2(X2) + . . . + f1(XN)*f2(XN)
   . . . . . . . . . . . . . . .    :   . . .
   fnf1   fnf2  . . .  fnfn   :   fnF                          f1F                                                   f1(X1)*F(X1) + f1(X2)*F(X2)  + . . . + f1(XN)*F(XN)

   Решая эту систему, мы и найдём нужные коэффициенты  ai .
   Вопрос. А зачем для конструирования "меры отклонения" мы возводили слагаемые в квадрат? Ведь  можно было взять и просто сумму их модулей... Оказывается, в этом случае не удаётся (при любых  n  и любых функциях  f1, f2. ...)  сконструировать приемлемую (тем более - столь изящную) конструкцию для нахождения этих коэффициентов. Впрочем, для функций  1, x, x^2,  x^3 ... великий русский математик  П.Л.Чебышёв нашёл подходы и к (близкой к) этой задаче...

[Кот Учёный]

   Ваша ПРОИЗВОЛЬНАЯ функция выглядит очень даже не произвольной!

Функция f(x) СОВЕРШЕННО произвольная... скажем хаотический волновой фронт.

Задача состоит в том, чтобы разложить её в гармонический ряд наиболее удобным и БЫСТРЫМ способом при использовании КОМПЬЮТЕРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.